Přechod na menu, Přechod na obsah, Přechod na patičku
     

Permutace bez opakování


Permutace nebo též pořadí je název pro uspořádání prvků určité skupiny (např. seřazení 5 lidí do fronty). I nyní nás bude zajímat počet všech různých uspořádání, které můžeme s danými prvky učinit (např. kolika způsoby můžeme seřadit 5 lidí do fronty?).

Rozdíl oproti variacím je pouze ten, že uspořádáváme všechny prvky.

Opět tyto prvky mezi sebou rozlišujeme, jsou navzájem různé, neopakují se a opět záleží na jejich na pořadí.



Řešené příklady

  socha Spravedlnost

Příklad 1 – Zákon

K návrhu zákona se mají postupně vyjádřit 4 poslanci: Adámek, Beneš, Coufal a Dupák. Určete počet:

  1. všech možných pořadí jejich vystoupení;
  2. všech možných pořadí jejich vystoupení, v nichž Dupák vystupuje hned po Adámkovi;
  3. všech možných pořadí jejich vystoupení, v nichž Beneš vystupuje kdykoli po Dupákovi.

Řešení:(skrýt text)

  1. Zajímá nás pořadí 4 poslanců: _ _ _ _
    Na první místo můžeme vybrat jednoho ze 4, máme tedy 4 možnosti výběru:
    4 _ _ _
    Zbývají nám 3 poslanci. Na druhé místo máme tedy 3 možnosti výběru:
    4 3 _ _
    Po výběru poslanců na první a druhé místo nám zůstávají 2 poslanci. Na třetí místo máme proto 2 možnosti výběru:
    4 3 2 _
    A už nám zůstal jen jeden poslanec, který půjde jako poslední:
    4 3 2 1
    Výsledek: $ 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$.
  2. Dupák má jít hned po Adámkovi. Tak je spojíme dohromady a vznikne nám jeden celek: Adámek + Dupák → AD.
    (Dupák jde vždy po Adámkovi, proto ho můžeme v možnostech sloučit s Adámkem. Jeho výstup je určen tím, kdy vybereme Adámka.)
    Hledáme tedy rozmístění pro 3 „poslance”, pro Beneše, Coufala a AD: → _ _ _
    Pro výběr prvního v pořadí máme na výběr ze 3 možností: 3 _ _
    Pro další vystoupení máme už jen 2 možností: 3 2 _
    A poslední možnost: 3 2 1
    Výsledek: $ 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$.
        Můžeme si ověřit, že opravdu v těchto šesti možnostech máme rozmístěné 4 poslance podle zadání:
       1) AD B C     2) AD C B
       3) B AD C     4) C AD B
       5) B C AD     6) C B AD
  3. Uvědomme si, že pořadí, kdy je Beneš před Dupákem, a pořadí, kdy je Beneš po Dupákovi, je stejný počet. Proto hned můžeme vidět, že výsledek je tedy počet všech pořadí děleno dvěma: $ (4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) / 2 = 24 / 2 = 12$.

Příklad 2 – Předseda, místopředseda…

Vedení sportovního klubu 1. FK Zborovice tvoří 3 muži a 2 ženy. Určete:

  1. Kolika způsoby z nich lze vybrat předsedu, místopředsedu, účetního, hospodáře a trenéra?
  2. Kolika způsoby z nich lze vybrat funkcionáře jak v případě 1. tak, aby ve funkci předsedy byl muž a ve funkci místopředsedy žena nebo obráceně?

Řešení:(skrýt text)

  1. $3$ muži $+ \ 2$ ženy $= 5 $lidí celkem.
    P   M   Ú   H   T ( = Předseda Místopředseda Účetní Hospodář Trenér)
    _    _   _   _   _    →    5   4   3   2   1
    Výsledek: $ 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$.
    (Připomeňme si, proč se čísla násobí. Používáme totiž pravidlo součinu.)
  2. Úlohu si rozdělíme na 2 různé situace:
    a) P-muž a M-žena:

    Na místo předsedy vybíráme jednoho ze tří mužů, na místo místopředsedy jednu ze dvou žen:
    $3 \ 2 $ _ _ _
    Zbývají $2$ muži $+ \ 1$ žena $= 3 $.
    $ 3 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 36$.

    b) P-žena a M-muž:

    Na místo předsedy vybíráme jednu ze dvou žen, na místo místopředsedy jednoho ze tří mužů:
    $2 \ 3 $ _ _ _
    Zbývají $2$ muži $+ \ 1$ žena $= 3 $.
    $ 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 36$.

    Výsledek: $ 36 + 36 = 72$.
    (Připomeňme si, proč čísla sčítáme. Používáme totiž pravidlo součtu.)


Příklad 3 – Čísla

A) Určete počet všech pěticiferných přirozených čísel, v jejichž dekadickém zápisu se vyskytují číslice 0, 4, 5, 6, 7 a každá z nich právě jednou?

B) Kolik z nich je menších než 60 000?

C) Kolik z nich je dělitelných 5?

Řešení:(skrýt text)

A) Pěticiferné číslo: _ _ _ _ _
Na první cifru můžeme umístit jednu ze čtyř číslic: 4 _ _ _ _
Na další cifru máme k dispozici pět číslic bez jedné, kterou jsme už vybrali: 4 4 _ _ _
A postupujeme dále, jak jsme zvyklí: 4 4 3 2 1
Celkově: $ 4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 96$.

B) Na první cifru můžeme dát jen 2 číslice: 4 a 5. (Proč? Menší než 6000.)
Celkově: $2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 48$.

C) Pěticiferné číslo je dělitelné pěti právě tehdy, když končí 0 nebo 5. Každou situaci si vypočítáme zvlášť.

Číslo končící číslicí 0: na poslední cifru máme jen jednu možnost: _ _ _ _ 1 .
Rozmístíme ostatní číslice: $ 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 24$.

Číslo končící číslicí 5: na poslední cifru máme jen jednu možnost: _ _ _ _ 1 .
Rozmístíme ostatní číslice: $ 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 18$.

Celkem: $ 24 + 18 = 42$.



Definice

Definice: Permutace $n$ prvků je uspořádaná $n$-tice sestavená z těchto prvků tak, že se v ní každý vyskytuje právě jednou.

Jinak řečeno: Permutace $n$ prvků jsou právě $n$-členné variace z těchto prvků.


Definice: Pro každé přirozené číslo $n$ definujeme:

$n! = n \cdot (n-1) \cdot … \cdot 2 \cdot 1$,     kde   $0! = 1$.

Číslo $n!$ čteme jako „$n$ faktoriál”.

Z předchozích úvah vyplývá následující věta:

Věta: Počet $P(n)$ všech permutací z $n$ prvků je:

$ P(n) = n! $.

Podívejte se na počítání s faktoriály.Přechod na počítání s faktoriály

Pokud rozpoznáme, že se v úloze ptáme na počet jistých permutací, je možné přímo použít vzorec.

Vypočítáme si některé již řešené příklady s využitím vzorce.

Příklad 1 – Zákon – podle vzorce(zobrazit text)


Příklad 2 – Předseda, místopředseda… – podle vzorce(zobrazit text)


Shrnutí počítaní podle vzorce:
Použití vzorce může urychlit řešení úlohy, vždy je však nezbytné do úlohy nejprve proniknout.



Příklady k procvičení


Příklad 1

A) Určete, kolika způsoby lze sestavit rozvrh na úterý pro 8. třídu ZŠ Sýpky, v níž se vyučuje 6 předmětů. Každý předmět má právě jednu vyučovací hodinu denně a celkově se vyučuje 6 vyučovacích hodin denně.

B) Kolika způsoby lze sestavit takový rozvrh, který má jako třetí vyučovací předmět zeměpis? (Zeměpis je jeden ze šesti předmětů).

Řešení: (zobrazit text)


Příklad 2

Určete, kolika způsoby se v pětimístné lavici může posadit:

  1. pět chlapců;
  2. pět chlapců, jestliže Kuba a Jirka chtějí sedět vedle sebe;
  3. pět chlapců, jestliže Kuba a Jirka chtějí sedět vedle sebe a Honza chce sedět na kraji.

Řešení: (zobrazit text)


Příklad 3

Žáci 3. třídy chtějí nacvičit divadlo na vánoční besídku. Paní učitelka musí 9 žákům (5 chlapců a 4 děvčata) rozdělit divadelní role:
Král, královna, princ, princezna, dvorní dáma, služebná, podkoní, kovář a rytíř.

  1. Kolika způsoby může tyto role rozdělit?
  2. Kolika způsoby může tyto role rozdělit tak, aby královna a princezna byly dívky a král a princ byli chlapci? Ostatní mohou být jakkoli.
  3. Kolika způsoby může tyto role rozdělit tak, aby ženské role hrály dívky a mužské role chlapci?

Řešení: (zobrazit text)


Příklad 4

Určete počet všech sudých pěticiferných přirozených čísel vytvořených z cifer 1, 2, 3, 4, 5, nemůže-li se v daném čísle žádná cifra opakovat.

Řešení: (zobrazit text)


Příklad 5

Určete počet všech šesticiferných přirozených čísel vytvořených z cifer 0, 1, 2, 3, 4, 5, v nichž se žádná cifra neopakuje.

Řešení: (zobrazit text)


Příklad 6

Kolika způsoby lze postavit do řady 4 Angličany, 2 Francouze a 3 Turky, musí-li osoby téže národnosti stát vedle sebe?

Řešení: (zobrazit text)


Příklad 7

Určete počet všech pěticiferných přirozených čísel, v jejichž dekadickém zápisu je každá z číslic 0, 1, 3, 4, 7?
      A) Kolik z těchto čísel je dělitelných šesti?
      B) Kolik jich je větších než 74300?

Řešení: (zobrazit text)


socha Svobody

Příklad 8

Určete, kolikrát lze přemístit slova ve verši od Jána Kollára

„Sám svobody kdo hoden, svobodu zná vážiti každou”
tak, aby se nepromíchala slova věty hlavní a vedlejší.

Řešení: (zobrazit text)


Příklad 9

Kolika způsoby můžeme rozestavit 6 dětí do kruhu?

Řešení: (zobrazit text)


Příklad 10

Kolika způsoby můžeme posadit ke kulatému stolu 5 mužů a 5 žen tak, aby žádné dvě osoby téhož pohlaví neseděly vedle sebe, považujeme-li
      a) jednotlivá místa u stolu za různá;
      b) jednotlivá místa u stolu za stejná.

Řešení: (zobrazit text)


Příklad 11

Kolik náhrdelníků lze utvořit ze 6 korálků různých barev?

Řešení: (zobrazit text)


Bc. Monika Stančíková |
ÚMS, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita |
Návrat na úvodní stránku webu, přístupnost |
Stránky Přírodovědecká fakulty MU
| Šablonu poskytlo:
| Servisní středisko pro e-learning na MU
| Fakulta informatiky Masarykovy univerzity, 2015