Přechod na menu, Přechod na obsah, Přechod na patičku
     

Kombinace bez opakování


Ve variacích (i permutacích) vždy záleželo na pořadí, v jakém jsme vybrané prvky uspořádávali. V kombinacích tomu tak není, na jejich pořadí nezáleží. (Např. vybíráme 2 korálky ze sáčku plného různých korálek.)

Stále prvky mezi sebou rozlišujeme (nemohou se opakovat) a každý se může vyskytovat nejvýše jednou.



Úvodní příklady


Příklad 1 – Variace a dvojice

Kolik existuje uspořádaných dvojic ze čtyř písmen – A B C D ? (Uspořádaných dvojic, proto záleží na pořadí prvků ve dvojici.)

Řešení:(skrýt text)

dvojice: _ _ $4 \cdot 3 = 12$.

Všechny dvojice ze čtyř písmen – A B C D jsou:
               AB    AC    AD    BC    BD    CD
               BA    CA    DA    CB    DB    DC


Příklad 2 – Kombinace a dvojice

Kolik existuje neuspořádaných dvojic ze čtyř písmen – A B C D ? (Nezáleží na pořadí prvků, proto dvojice AB i BA je stejná kombinace.)

(Jinými slovy: Kolik existuje 2-prvkových podmnožin 4-prvkové množiny?)

Řešení:(skrýt text)

Uspořádaných dvojic bylo: $4 \cdot 3 = 12$.
AB
BA
AC
CA
AD
DA
BC
CB
BD
DB
CD
DC

Když se pozorně podíváme na výpis, všimneme si, že neuspořádaných dvojic je přesně 2x méně.

Každý sloupec tvoří 2 stejné písmena jinak uspořádané = permutace 2 prvků.

Počet dvouprvkových permutací je 2! = 2, to určuje i počet řádků.

Proto, pokud nezáleží na pořadí, vydělíme výsledek 2! a získáme počet neuspořádaných dvojic.
Výsledek: $\dfrac{4 \cdot 3}{2!} = \dfrac{12}{2} = 6$.

Výpis všech neuspořádaných dvojic ze 4 prvků:
               AB    AC    AD    BC    BD    CD


Příklad 3 – Variace a trojice

Kolik existuje uspořádaných trojic ze čtyř písmen – A B C D ? (Uspořádaných = záleží na pořadí.)

Řešení: (skrýt text)

trojice: _ _ _ $4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$

Všechny trojice ze čtyř písmen – A B C D jsou:
               ABC    ABD    ACD    BCD
               ACB    ADB    ADC    BDC
               BAC    BAD    CAD    CBD
               BCA    BDA    CDA    CDB
               CAB    DAB    DAC    DBC
               CBA    DBA    DCA    DCB


Příklad 4 – Kombinace a trojice

Kolik existuje neuspořádaných trojic ze čtyř písmen – A B C D ? (Nezáleží na pořadí prvků.)

(Jinými slovy: Kolik existuje 3-prvkových podmnožin 4-prvkové množiny?)

Řešení:(skrýt text)

Uspořádaných trojic bylo: $4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$.
ABC
ACB
BAC
BCA
CAB
CBA
ABD
ADB
BAD
BDA
DAB
DBA
ACD
ADC
CAD
CDA
DAC
DCA
BCD
BDC
CBD
CDB
DBC
DCB

Každý sloupec tvoří 3 stejné prvky jinak uspořádané = permutace tří prvků.

Počet tří-prvkových permutací je 3! = 6, to určuje i počet řádků.

Proto, pokud nezáleží na pořadí, vydělíme výsledek 3! a získáme počet neuspořádaných trojic.
Výsledek: $\dfrac{4 \cdot 3 \cdot 2}{3!} = \dfrac{24}{6} = 4$.

Výpis všech neuspořádaných trojic ze 4 prvků:
               ABC    ABD    ACD    BCD


žák před tabulí

Příklad 5 – Zkoušení studentů

Ve třídě je 30 žáků. Kolika způsoby můžeme vybrat 3 žáky na zkoušení? (Žáci jsou zkoušeni zároveň = nezáleží na jejich pořadí.)

Řešení:(skrýt text)

Vybereme trojici žáků: $30 \cdot 29 \cdot 28$

Nezáleží na pořadí, proto vydělíme ještě $3!$.

Výsledek: $\dfrac{30 \cdot 29 \cdot 28}{3!} = 4060$.


Shrnutí:

Všimněte si, že pokud jsme tvořili neuspořádané dvojice, vypočítali jsme variace a výsledek vydělili 2!.

Pokud jsme chtěli neuspořádané trojice, vypočítali jsme opět variace a výsledek vydělili 3!.

Jak by tomu bylo u čtveřic? ... Výsledek by se vydělil 4!.

Uvědomili jste si na příkladech, proč tomu tak bylo?


Definice

Definice: $k$-členná kombinace z $n$ prvků je neuspořádaná $k$-tice sestavená z těchto prvků tak, že se v ní každý vyskytuje nejvýše jednou.

Jinak řečeno:

$k$-členná kombinace z $n$ prvků je $k$-prvková podmnožina množiny těmito $n$ prvky určená.


Z předchozích úvah vyplývá věta:

Věta: Počet $K(k,n)$ všech $k$-členných kombinací z $n$ prvků je: $$ K(k,n) = \dfrac{V(k,n)}{k!}.$$


Definice: Pro vyjádření $K(k, n)$ užíváme i symbol $\dbinom{n}{k} $. Nazývá se kombinační číslo a čte se "$n$ nad $k$".

Věta: Pro všechna celá nezáporná čísla $n, k$, kde $k \leq n$, platí: $$ K(k,n) = \dbinom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$


Kombinační číslo - odvození(zobrazit text)


Řešené příklady


Příklad 1 – Knihy

Alena má 10 knih, které ještě nepřečetla. Odjíždí na dovolenou a chtěla by si vzít dvě knihy s sebou. Kolik má různých možností, jaké knihy si vybrat?

Řešení:(skrýt text)

Z 10 knih vybíráme 2 tak, že nezáleží na jejich pořadí: $${10 \choose 2} $$ Obvykle si s tímto výsledkem vystačíme. Ale zkusme si nyní i rozepsat: $${10 \choose 2} = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8!}{2!8!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 5 \cdot 9 = 45.$$
Porovnejme s postupem z úvodu: $\dfrac{10 \cdot 9}{2!} = \dfrac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 5 \cdot 9 = 45$.


šachovice

Příklad 2 – Šachovnice

Určete, kolika způsoby lze na šachovnici (8 x 8 políček) vybrat:
A) 3 políčka?
B) 3 políčka neležící ve stejném sloupci?
C) 3 políčka neležící ve stejném sloupci ani ve stejné řadě?
D) 3 políčka, která nejsou všechna stejné barvy?

Řešení:(skrýt text)

A) Na šachovnici je 64 políček. Z nich vybíráme 3: $${64 \choose 3} $$
Zkusme si i nyní rozepsat:
$$ {64 \choose 3} = \frac{64!}{3!(64-3)!} = \frac{64!}{3! \cdot 61!} = \frac{64 \cdot 63 \cdot 62 \cdot 61!}{3! \cdot 61!} = \frac{64 \cdot 63 \cdot 62}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 64 \cdot 21 \cdot 31 = 41664. $$

B) Od všech trojic odečteme ty trojice, které leží ve stejném sloupci.
Kolik je trojic, které leží ve stejném sloupci? Z 8 políček v jednom sloupci vybíráme 3: $${8 \choose 3}$$
Sloupců je 8, proto toto číslo musíme odečíst osmkrát. Náš výsledek: $${64 \choose 3} - 8 \cdot {8 \choose 3} \qquad [=41216]$$

C) Od výsledku v bodě B) ještě odečteme trojice, které leží ve stejné řadě. Kolik jich je? $$ 8 \cdot {8 \choose 3}$$ Výsledek: $${64 \choose 3} - 8 \cdot {8 \choose 3} - 8 \cdot {8 \choose 3} = {64 \choose 3} - 16 \cdot {8 \choose 3} \qquad [=40768] $$

D) Od všech trojic odečteme ty trojice, které jsou bílé barvy, a trojice, které jsou černé barvy.
Políček bílé barvy je 32.
Políček černé barvy je 32.
Výsledek: $${64 \choose 3} - {32 \choose 3} - {32 \choose 3} = {64 \choose 3} - 2 \cdot {32 \choose 3} \qquad [=31744]$$

V tomto případě jsme mohli postupovat i jinak.
Chceme znát počet trojic, které nejsou stejné barvy. Tedy jsou to trojice, kde je buď 1 políčko černé a 2 bílé, nebo 1 bílé a 2 černé. Těch je: $${32 \choose 2} \cdot {32 \choose 1} + {32 \choose 1} \cdot {32 \choose 2} = {32 \choose 2} \cdot 32 + 32 \cdot {32 \choose 2} = 64 \cdot {32 \choose 2} \qquad [=31744] $$


Příklad 3 – Ženy a muži

Určete, kolika způsoby je možno ze sedmi mužů a čtyř žen vybrat šestičlennou skupinu, v níž jsou
a) právě dvě ženy?
b) aspoň dvě ženy?
c) nejvýše dvě ženy?

Řešení:(skrýt text)

a) Vybíráme 2 ženy ze 4 a zároveň 4 muže ze 7, nezáleží na pořadí: $${4 \choose 2} \cdot {7 \choose 4} \qquad [=210]$$

b) V tomto případě můžeme vybrat:
2 ženy a 4 muže         nebo
3 ženy a 3 muže         nebo
4 ženy a 2 muže

Výsledek: $${4 \choose 2} \cdot {7 \choose 4} + {4 \choose 3} \cdot {7 \choose 3} + {4 \choose 4} \cdot {7 \choose 2} \qquad [=371]$$

c) V tomto případě můžeme vybrat:
2 ženy a 4 muže         nebo
1 ženu a 5 mužů         nebo
žádnou ženu a 6 mužů

Výsledek: $${4 \choose 2} \cdot {7 \choose 4} + {4 \choose 1} \cdot {7 \choose 5} + {4 \choose 0} \cdot {7 \choose 6} = {4 \choose 2} \cdot {7 \choose 4} + {4 \choose 1} \cdot {7 \choose 5} + {7 \choose 6} \qquad [=301]$$


Příklady k procvičení


Příklad 1

Volejbalový turnaj je rozdělen na 3 skupiny. V každé skupině je 6 týmů. V rámci skupiny hraje každý tým s každým.

A) Kolik zápasů se v turnaji odehraje?

B) Kolik zápasů se v turnaji odehraje, hrají-li ještě vítězové všech skupin každý s každým o celkové první místo?

Řešení: (zobrazit text)


podání rukou

Příklad 2

Jaký bude celkový počet podání rukou:

1. jsou-li v místnosti 3 lidé a každý si podává ruku s každým?

2. přijde-li dalších 5 lidí? Původní 3 lidé si už ruce mezi sebou nepodávají.

Řešení: (zobrazit text)


Příklad 3

A) Kolika způsoby je možno z 18 kamarádů vybrat 9?

B) Kolika způsoby je možno z 18 kamarádů vybrat 9 požadujeme-li, že kamarád Pepa nebude mezi vybranými?

C) Kolika způsoby je možno z 18 kamarádů vybrat 9 požadujeme-li, že mezi vybranými nebudou zároveň obě kamarádky Katka a Žofka?

D) Kolika způsoby je možno z 18 kamarádů vybrat 9 požadujeme-li, aby mezi vybranými byl alespoň jeden z kamarádů Honza nebo Sláva?

Řešení: (zobrazit text)


ilustrativní knihy

Příklad 4

Petr má sedm knih, o které se zajímá Ivana, Ivana má deset knih, o které se zajímá Petr. Určete, kolika způsoby si Petr může vyměnit dvě své knihy za dvě knihy Ivaniny.

Řešení: (zobrazit text)


Příklad 5

Vyjádřete kombinačními čísly, kolika způsoby může $m$ chlapců a $n$ dívek utvořit taneční pár.

Řešení: (zobrazit text)


Příklad 6

Je dán čtverec KLMN. Na každé straně čtverce zvolíme 8 vnitřních bodů.

A) Určete počet všech trojúhelníků, jejichž vrcholy leží v daných bodech.

B) Určete počet všech trojúhelníků, jejichž vrcholy leží v daných bodech a každé dva vrcholy jednoho trojúhelníku leží na různých stranách čtverce.

Řešení: (zobrazit text)


Příklad 7

Na běžecké trati běží 8 závodníků. Do finále postupují první tři. Kolik je možností na postupující trojici?

Řešení: (zobrazit text)


Příklad 8

Kolika způsoby lze rozdělit 12 hráčů na dvě šestičlenná volejbalová družstva?

Řešení: (zobrazit text)


Příklad 9

Kolika způsoby lze 4 dívky a 8 chlapců rozdělit na dvě šestičlenná volejbalová družstva tak, aby v každém družstvu byla dvě děvčata a 4 chlapci?

Řešení: (zobrazit text)


Příklad 10

Ve skupině je 20 dětí, každé dvě děti mají jiné jméno. Je mezi nimi i Alena a Jana. Kolika způsoby lze vybrat 8 dětí tak, aby mezi vybranými:
a) byla Alena,
b) nebyla Alena,
c) byla Alena a Jana,
d) byla alespoň jedna z dívek Alena, Jana,
e) byla nejvýše jedna z dívek Alena, Jana,
f) nebyla ani Alena, ani Jana?

Řešení: (zobrazit text)


Příklad 11

Kolika způsoby lze 20 dětí rozdělit do tří skupin tak, aby v první skupině bylo 10 dětí, ve druhé skupině bylo 6 dětí a ve třetí zbytek?

Řešení: (zobrazit text)


Příklad 12

V sérii 12 výrobků jsou právě 3 vadné. Kolika způsoby z nich lze vybrat:
a) 6 libovolných výrobků,
b) 6 výrobků bezvadných,
c) 6 výrobků, z nichž právě 1 je vadný,
d) 6 výrobků, z nichž právě 2 jsou vadné,
e) 6 výrobků, z nichž právě 3 jsou vadné?

Řešení: (zobrazit text)


Příklad 13

Kolika způsoby je možné vybrat z přirozených čísel menších nebo rovných 30 tři různá čísla tak, aby jejich součet byl roven sudému číslu?

Řešení: (zobrazit text)


Bc. Monika Stančíková |
ÚMS, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita |
Návrat na úvodní stránku webu, přístupnost |
Stránky Přírodovědecká fakulty MU
| Šablonu poskytlo:
| Servisní středisko pro e-learning na MU
| Fakulta informatiky Masarykovy univerzity, 2015